[양자역학]3.병진 운동 (Translational Motion)과 터널링(Tunneling)

지난 포스트에서 슈뢰딩거 방정식을 유도해보고, 적절한 경계조건하에서 서로 직교하는 무수히 많은 해가 나온다는 것을 보았다. 이번에는 이를 이용해서 완전히 자유롭게 움직이는 입자와 포텐셜 우물에 갖힌 입자(Particle in a box), 터널링 현상에 대해서 알아보자

자유롭게 움직이는 입자

1차원에서 자유롭게 움직이는 입자의 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.

$$-\dfrac{\hbar^2}{2m} \dfrac{d^2\psi}{dx^2} = E\psi$$

그리고 이 방정식의 해는 아래와 같다.

$$\psi = A\exp(ikx) + B\exp(-ikx), k=\dfrac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$$

별다른 초기조건이나 경계 조건이 없기 때문에 A, B는 특정할 수 없으며, 연속적인 에너지를 가질 수 있다.

Particle in a Box

https://edurev.in/t/327514/Particle-in-a-One-Dimensional-Box

그림처럼 포텐셜에 갖힌 입자가 구간 \([0, L]\)을 돌아다닌다고 생각해보자. 입자는 이 안에서만 존재할 수 있으므로 아래와 같은 경계조건과 방정식을 따른다.

$$\psi(0) = \psi(L) = 0$$

$$-\dfrac{\hbar^2}{2m} \dfrac{d^2\psi}{dx^2} = E\psi$$

해를 구해보면(경계조건을 적용하기에는 sin, cos 형태로 하는 것이 편하다)

$$\psi = A \cos(kx) + B \sin(kx),\ k=\dfrac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$$

경계조건을 적용해보면

$$A = A \cos(kL) + B \sin(kL) = 0 $$

이므로

$$ \psi = B \sin(kx),\ k = \dfrac{n\pi}{L},\ n= 1, 2, 3, \cdots$$

이어야 한다. 여기서 음수가 포함되지 않는 이유는 sin이 기함수라 -가 밖으로 나와서 어짜피 상수배이기 때문이고, 0이 포함되지 않는 이유는 불확정성 원리 때문이다. 만약 \(n=0\)이면 \(k=0\)이 되어 운동에너지도 0이 된다. 즉 운동량이 0이라 운동량의 불확정성도 0이고, 움직이지 않으니 위치 불확정성도 0이 된다. 이는 불확정성 원리에 어긋나기 때문에 양자는 무조건 계속 움직일 수 밖에 없는 것이다. 추가적으로 \(k=0\)이면, \(\psi=0\)이 되어 입자를 찾을 확률이 0이 되는데, 상자안에 반드시 입자가 있어야 하기 때문에 모순인 것도 있다.

 

헤밀토니안 연산자를 적용해서 에너지를 구해도 되고 \(k=\dfrac{n\pi}{L}=\dfrac{\sqrt{2mE}}{\hbar}\)의 관계를 이용해서 에너지를 구하면 아래와 같이 무한한 에너지 준위가 양자화되었는 것을 확인할 수 있다.

$$E= \dfrac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2mL}$$

이는 지난 슈뢰딩거 방정식 포스트에서 \(y(b)=y(a)=0\)이라는 경계 조건을 가지는 singular sturm-liouvile problem이 무한한 고유값(여기선 에너지)과 고유함수를 가진다는 것과도 부합한다.

 

다차원의 Particle in a Box

$$-\dfrac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi = E\psi$$

다차원의 경우 각 방향의 운동이 독립이라는 전제되어있다면, \(E = E_x + E_y + E_z\)으로 변수 분리를 하였을 때, 1차원일 때의 해의 곱으로 표기된다.

예를 들어 \(L \times L \times L\)의 박스라면, 해는 아래와 같다.

$$ \psi = C \sin(k_x x) \sin(k_y y) \sin(k_z z),\ k_x = \dfrac{n_x\pi}{L}, k_y = \dfrac{n_y\pi}{L}, k_z = \dfrac{n_z\pi}{L} $$

$$ E = \dfrac{\hbar^2}{2m}(k_x^2 + k_y^2 + k_z^2) = \dfrac{\hbar^2 \pi^2}{2m L^2} (n_x^2 + n_y^2 + n_z^2) $$

여기서 각 양자수가 다르더라도 \(n_x^2 + n_y^2 + n_z^2\)의 값이 같다면 같은 에너지를 가지는 것을 알 수 있는데 이를 degenercy(축퇴)라고 한다.

Tunneling

양자의 세계로 가면 여러가지 재미난일이 생기는 데 터널링 현상도 그 중에 하나이다. 터널링이란 입자가 가진 운동에너지보다 포텐셜이 높기 때문에 고전적으로는 절대 통과할 수 없는 장벽이라도, 일부 입자가 통과하게 되는데 슈뢰딩거 방정식을 풀어서 이를 살펴보자

영역 Ⅰ에서

$$-\dfrac{\hbar^2}{2m} \dfrac{d^2\psi}{dx^2} = E\psi$$

$$\psi_{Ⅰ} = A\exp(ik_1 x) + B\exp(-ik_1 x), k_1=\dfrac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$$

$$\begin{align} \psi_{Ⅰ+} &= A\exp(ik_1 x) \\ \psi_{Ⅰ-} &= B\exp(-ik_1 x) \end{align}$$

* \( A\exp(ik_1 x) \)가 +방향으로 진행하는 파동함수인 이유는 운동량 연산자를 취하였을 때 \( \hat{p}\psi = \hbar k \psi\)로 +방향 운동량이 나오기 때문이다.

영역 Ⅱ에서

$$-\dfrac{\hbar^2}{2m} \dfrac{d^2\psi}{dx^2} + V \psi = E\psi\ (E < V)$$

$$\psi_{Ⅱ} = C\exp(-k_2 x) + D\exp(k_2 x), k_2 =\dfrac{\sqrt{2m(V-E)}}{\hbar} $$

$$\psi_{Ⅱ+} = C\exp(-k_2 x)$$

되튕겨져오지 않으므로 \(D=0\)이다.

*\( C\exp(-k_2 x) \)가 +방향으로 진행하는 파동함수인 이유는 포텐셜이 운동에너지 보다 더 큰상황이기 때문에 진행하면서 점점 진폭이 줄어 발견확률이 감소해야 하기 때문이다.

영역 Ⅲ에서

$$-\dfrac{\hbar^2}{2m} \dfrac{d^2\psi}{dx^2} = E\psi$$

$$\psi_{Ⅲ} = F\exp(ik_3 x) + G\exp(-ik_3 x), k_3= k_1=\dfrac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$$

$$\psi_{Ⅲ+} = F\exp(ik_1 x) $$

되튕겨져오지 않으므로 \(G=0\)이다.

 

이를 정리하면 다음과 같다.

$$\begin{align} \psi_{Ⅰ} &= A\exp(ik_1 x) + B\exp(-ik_1 x)\\ \psi_{Ⅱ} &= C\exp(-k_2 x)\\ \psi_{Ⅲ} &= F\exp(ik_1 x) \end{align} $$

 

Born Interpretation에 따라 파동함수가 연속이어야 하므로

$$ \psi_{Ⅰ}(0) = \psi_{Ⅱ}(0) $$

$$\psi_{Ⅱ}(L) =\psi_{Ⅲ}(L) $$

 

파동함수의 도함수도 연속이어야 하므로

$$ \psi_{Ⅰ}'(0) = \psi_{Ⅱ}'(0) $$

$$\psi_{Ⅱ}'(L) =\psi_{Ⅲ}'(L) $$

이를 통해 아래와 같은 연립 방정식을 얻는다.

$$\begin{cases} A + B -C - D = 0\\ ik_1 A - ik_1 B + k_2 C - k_2 D = 0\\ C\exp(-k_2 L) + D\exp(k_2 L) - F \exp(ik_1 L) = 0\\ -Ck_2 \exp(-k_2 L) + Dk_2 \exp(k_2 L) - F ik_1 \exp(ik_1 L) = 0\\ \end{cases} $$ 

 

우리가 궁금한 것은 포텐셜 장벽의 투과율, 즉 Ⅰ번 영역에서 장벽을 향해 진행한 입자중 Ⅲ 영역으로 얼마나 넘어갔는가 있다. 이는 독립인 사건의 조건부 확률로 (입자가 Ⅲ 영역에서 +로 움직일 확률) /(입자가 Ⅰ번 영역에서 +로 움직일 확률)로 구할 수 있다. 파동함수에 붙은 계수의 제곱이 확률이므로 투과율은 아래와 같다.

$$ T = \dfrac{|F|^2}{|A|^2} $$

연립방정식이 미지수 5개에 방정식은 4개라 적어도 1개의 자유 변수가 생겨 무한한 해집합이 생기지만, 계수의 비율은 구할 수 있다. 연립방정식은 가우스-조던 소거법을 이용해서 푸는 것이 정신 건강에 이롭다. 

$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -1 & 0\\ ik_1 & -ik_1 & k2 & -k2& 0\\ 0 & 0 & \exp(-k_2 L) & \exp(k_2 L) & -\exp(ik_1 L) \\ 0 & 0 & -k_2 \exp(-k_2 L) & k_2 \exp(k_2 L) & -ik_1 \exp(ik_1 L)  \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A \\ B \\ C \\ D \\ F \end{pmatrix} = \mathbf{0} $$

여기서 계수 행렬을 RREF(Reduced Row Echlon Form)으로 만들면, \(A + aF = 0\)이 나와서 쉽게 비율을 계산할 수 있다는 것이 눈에 들어올 것이다. 손으로 풀수도 있겠지만 Sympy같은 CAS를 이용하는 것을 추천한다.

from sympy import *
import sympy as sym

x, y, k_1, k_2, L = symbols("x, y, k_1, k_2, L")
i = I

M = Matrix([[1, 1, -1, -1, 0],
            [i*k_1, -i*k_1, k_2, -k_2, 0],
            [0, 0, exp(-k_2*L), exp(k_2*L), -exp(i*k_1*L),],
            [0, 0, -k_2*exp(-k_2*L), k_2*exp(k_2*L), -i*k_1*exp(i*k_1*L)]])
result = M.rref()[0]
sym.collect(result[0, 4], [i*exp(i*L*k_1), -2*k_1*k_2*exp(i*L*k_1)])

collect 함수를 사용하면 자동으로 묶어주니 편리하다. 이 값은 \(-A/F\)에 해당하고, \(\sinh(x) = \dfrac{\exp(x) - \exp(-x)}{2},\ \cosh(x) = \dfrac{\exp(x) + \exp(-x)}{2}\)임을 이용하여 하여 정리하면 다음과 같다.

$$ \begin{align} -\dfrac{A}{F} &= -\dfrac{1}{2} \cosh(Lk_1) \exp(iLk_1) + \dfrac{i}{4k_1 k_2} \exp(iLk_1) \left[ 2k_1^2 \sinh(Lk_2) -2k_2^2 \sinh(Lk_2) \right] \\ &= \left[ -\cosh(Lk_1) + \dfrac{i(k_1^2 - k_2^2)}{2k_1 k_2} \sinh(Lk_2) \right] \exp(ik_1 L) \end{align} $$

\(\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1\)라는 점을 이용해서 \(|A/F|^2\)를 계산하면

$$\begin{align} \left\vert \dfrac{A}{F} \right\vert^2 &= \dfrac{-F^*}{A^*} \times \dfrac{-F}{A}\\ &= \cosh^2 (Lk_1) + \left(\dfrac{k_1^2 - k_2^2}{2k_1 k_2}\right) \sinh^2 (Lk_2)\\ &= 1 + \left(\dfrac{k_1^2 + k_2^2}{2k_1 k_2}\right) \sinh^2 (Lk_2) \end{align} $$

\( k_1=\dfrac{\sqrt{2mE}}{\hbar} \), \(k_2 = \dfrac{\sqrt{2m(V-E)}}{\hbar}\)를 대입하면 다음과 같다.

$$ \left\vert \dfrac{A}{F} \right\vert^2 = \dfrac{V^2}{4E(V-E)}\sinh^2 \left(L \dfrac{\sqrt{2m(V-E)}}{\hbar}\right) + 1 $$

그러므로 구하고자하는 \(T = |F/A|^2\)의 값은 다음과 같다.

$$ T = \left\vert \dfrac{F}{F} \right\vert^2 = \left[ \dfrac{V^2}{4E(V-E)}\sinh^2 \left(L \dfrac{\sqrt{2m(V-E)}}{\hbar}\right) + 1 \right]^{-1} $$

만약 \(V >> E\)이거나 \(L \rightarrow \infty\)이라면 \(\sinh^2 (x) = \left(\dfrac{\exp(x) - \exp(-x)}{2}\right)^2 \approx \dfrac{1}{4}\exp(2x)\)이므로 다음과 같이 근사할 수 있다.

$$\begin{align} T &= \left[ \dfrac{V^2}{4E(V-E)}\sinh^2 \left(L \dfrac{\sqrt{2m(V-E)}}{\hbar}\right) + 1 \right]^{-1} \\ &\approx \left[ \dfrac{V^2}{16E(V-E)}\exp \left(2L \dfrac{\sqrt{2m(V-E)}}{\hbar}\right) + 1 \right]^{-1}\\ &= \left[ \dfrac{1}{16\dfrac{E}{V} \dfrac{V-E}{V} \exp \left(-2L \dfrac{\sqrt{2m(V-E)}}{\hbar}\right) } + 1 \right]^{-1}\\ &\approx 16\dfrac{E}{V} \dfrac{V-E}{V} \exp \left(-2L \dfrac{\sqrt{2m(V-E)}}{\hbar}\right) \end{align} $$

식을 보면, 무한한 포테셜이 아닌 이상 투과율이 0이 아니며, 이는 전자를 아무리 잘 가두어놔도 시간이 지남에 따라 전자가 도망쳐버리는 것을 의미한다.

 

이러한 터널링 현상은 반도체에서 누설전류가 생기는 원인이 되며, 반도체를 설계할 때 터널링을 고려하는 것이 매우 중요하다. 한가지 예로 DRAM(Dynamic Random Access Memory)의 회로를 살펴보자.

https://www.allaboutcircuits.com/news/dram-sram-flash-and-a-new-form-of-nvram-whats-the-difference/

DRAM은 캐패시터가 충전되어 있으면, 1, 방전된 상태면 0으로 하여 데이터를 저장하는 메모리이며, wordline으로 읽고쓸 캐패시터를 선택하고, bitline으로 값을 읽고 쓰게 된다. 트랜지스터 1개만 사용하기 때문에 값싸게 대용량의 메모리를 만들 수 있다는 장점이 있지만, 정보를 유지하기 위해 주기적으로 캐패시터를 재충전해주어야하기 때문에 속도가 조금 느린 단점이 있다. (때문에 전원이 차단되면 정보가 날라가며, 이것이 dynamic(동적)이라고 불리는 이유이다.)

 

그런데 왜 정보를 유지하기 위해서 주기적으로 캐패시터를 재충전해야할까? 이는 전자의 터널링 때문에 캐패시터가 빠르게 방전되기 때문이다. 우리 눈에 보이는 큰 캐패시터는 절연층의 두께가 두껍기 때문에 큰 포텐셜 장벽을 가져서 터널링으로 인한 방전은 아주 느리게 일어난다. 하지만 캐패시터를 소형화하여 절연층의 두께가 nm 단위가 되면은 전자들 가둬두는 포텐셜이 작아져서 매우 빠르게 방전이 일어나기 때문에 빈번하게 캐패시터를 재충전해야할 필요가 있는 것이다. 

 

지금까지 병진운동과 터널링 현상에 대해서 살펴보았으며, 반도체를 설계할 때 터널링을 고려하는 것이 매우 중요하다는 것을 살펴보았다. 다음 글에서는 양자 조화 진동자 (Quantum Harmonic Ocillator)에 대해서 알아보자

 

참고문헌

Atkins' Physical Chemistry 11e