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  • [양자역학]4.양자 조화 진동자 (Quantum Harmonic Oscillator)
    양자역학 2024. 5. 19. 20:39

    지난 글에서는 양자역학적인 병진 운동을 살펴보고, 터널링 현상에 대해 알아보았다.

    이번에는 입자의 진동 운동에 대해서 슈뢰딩거 방정식을 풀어보자.

    Classical Harmonic Ocillator

    용수철 상수가 kf인 용수철에 질량 m을 가진 물체가 매달려서 진동하고 있다고 생각해보자. 초기 위치를 0이라고 할 때, 이를 기술하는 미분방정식과 해는 아래와 같다.

    md2ydt2=kfx

    y(t)=Asin(kfmt)

    주기 T와 각진동수ω는 다음과 같다.

    T=2πmkfω=2πT=2πf=kfm

    Quantum Harmonic Ocillator

    포텐셜 V(x)=12kfx2=12mω2x2에 묶여 있는 입자에 대한 1차원 슈뢰딩거 방정식은 아래와 같다.

    22md2ψdx2+12mω2x2=Eψ

     

    식을 정리하면

    d2ψdx2+2m2[E12mω2x2]ψ=0

    mωd2ψdx2+[2Eωmωx2]ψ=0

    y=mωx, ϵ=Eω으로 치환하면 다음과 같이 바꾼다.

    d2ψ2dy2+(2ϵy2)ψ=0

    이대로 series solution을 구해도 되긴 하는데, 세 항에 대한 점화식이 나와서 어렵다. y로 보내본다면 ψy2ψ=0의 미분 방정식이 되며, 미분 두번 하였을 때 자기자신에게 y2이 곱해진 항이 나오는 함수는 e±y22이다. 이때 +이면 수렴하지 않으므로 -를 택하여 해의 행태를 ψ=u(y)exp(y22)라고 두고 방정식에 대입하면 y2이 사라질 것이니 방정식이 조금더 쉬워질 것이라 생각할 수 있다. 대입하면 다음과 같이 정리된다.

    u2yu+(2ϵ1)u=0

    u(y)=n=0cnyn이라두고 Series Solution을 구해보면 아래와 같은 점화식을 구할 수 있다.

    급수의 수렴성

    급수해가 수렴하는 지 살펴보자

    cn+2=2n+12ϵ(n+2)(n+1)cn

    비판정법(ratio test)을 사용하여 급수의 수렴성을 판단해보면

    limn|cn+2yn+2cnyn|=limn|(2n+12ϵ)yn+2(n+2)(n+1)yn|=limn|2n+12ϵ|(n+2)(n+1)y2

    이므로 급수의 짝수항과 홀수항은 y때는 발산한다. 그러므로 전체 급수도 발산함을 알 수 있다. 따라서 모든 정의역에서 발산하지 않으려면, 분모가 중간이 0이 되어 다항식으로 끝나야 한다. 즉

    ϵ=n+12, (n=0,1,2,)

    가 되어야 하는 것이다. 이로부터 에너지가 다음과 같이 양자화 되어있어야함을 알 수 있다.

    En=ω(n+12), (n=0,1,2,) 

    Hermite Polynomial

    ϵ=n+12을 적용하여 미분 방정식과 점화식을 다시 쓰면 다음과 같다.

    u2yu+2nu=0

    ci+2=2(in)(i+2)(i+1)ci

    또한  해의 수렴성으로 부터 u는 다항식이이어야 한다는 것을 알아내었다. 미분 방정식의 형태를 자세히 살펴보자. 다항식이라는 조건이 붙었으니 u(y)n1차 다항식이라 한다면, u(y)n차 다항식, u(y)n+1차 다항식이어야 양변에 차수가 맞을 것이다. y에 대한 n차 다항식을 Hn이라 하고, 식에 대입하면 다음과 같다.

    Hn+1=2yHn2nHn1

    이때 Hn=2nHn1의 관계를 만족시키는 유사 아펠 다항식열이라고 생각해볼 수 있고

    Hn+1=(2yddy)Hn

    이 되기 때문에 다항식은 다음과 같다.

    Hn=(yddy)n1

     

    이때 f(y)=ey2의 미분을 생각해보면

    dndynf(y)=(n차 다항식)×f(y)

    임을 알 수 있는데, 한 번 더 미분하게 되면

    dn+1dyn+1f(y)=n(n1차 다항식)×f(y)2y(n차 다항식)×f(y)

    가 되므로 아래와 같이 쓸 수 있다.

    dn+1dyn+1f(y)=(ddy2y)dndynf(y)

    이를 이용하면 Hn을 아래와 같이 쓸 수 있으며, 이를 에르미트 다항식 (Hermite Polynomial)이라고 한다.

    Hn=(2yddy)n1=(1)ney2dndyney2

    cf1) 맨 오른쪽의 식은 로드리게스 공식(Rodrigues's fomular)라고 한다.

    cf2) 참고로 에르미트 다항식은 물리학 버전과 확률론 버전이 있는데, 이 다항식은 물리학 버전이다.

     

    고로 결과를 종합한 미분 방정식의 해는 다음과 같다.

    ψ(x)=NnHn(y)exp(y22), y=mωx=(mkf2)14x

    Hn=(2yddy)n1=(1)ney2dndyney2

    En=ω(n+12)

     

    그리고 미분방정식을 풀면서 얻은 에르미트 다항식의 성질은 아래와 같다.

    Hn+1=2yHn2nHn1ddyHn=2nHn1

    Nomalization

    Nomalization 하려면 아래 식을 계산해야 한다.

    [Hn(y)]2ey2dx

    y=x/α,α=2mkf라 하면

    [Hn(y)]2ey2dx=α[Hn(y)]2ey2dy

    이를 계산하는 방법은

    Hn=(2yddy)n1=(1)ney2dndyney2

    을 이용하면

    [Hn(y)]2ey2=(최고 차항 계수가 (2)n인 n차 다항식)dndyney2

    이 되고, n번 부분적분하게 되면, 다항식이 곱해져 있는 항은 ey2때문에 모두 0이 되므로

    α[Hn(y)]2ey2dy=α2nn!ey2dy=α2nn!π

    가 된다. (다른 방법으로는 Hn+1=2yHn2nHn1를 이용할 수도 있다.) 따라서 정규화 상수는 아래와 같다.

    Nn=(1απ2nn!)12

     

    대수적인 해법

    Hamiltonian Operator를 인수분해하는 방법으로도 미분방정식을 풀 수 있다. 미분방정식 풀이에 익숙하지 않다면 이 방법이 더 쉬울 수도 있을 것이다. a2+b2=(a+ib)(aib)+i[a,b]임을 이용해서 인수분해 하면 다음과 같다.(잘 모르겠으면, 곱셈의 교환법칙이 일반적으로 성립하지 않을 수도 있다는 점을 유의하여, 우변의 식을 전개해보면 된다.)

    H^=12m(p^2+m2ω2x2)=12m[(p^+imωx)(p^imωx)+i[p^,mωx]]=12m[(p^+imωx)(p^imωx)+imω[p^,x]]=12m[(p^+imωx)(p^imωx)+mω]=ω[12mω(p^+imωx)(p^imωx)+12]

    간결하게 표현하기 위해 y=xα=mω로 변수를 치환하면

    H^=ω[12mω(iddx+imωx)(iddximωx)+12]=ω[mω2(iximω)(iximω)+12]=ω[12(iyiddy)(iyiddy)+12]=ω[12(yddy)(y+ddy)+12]

    그리고 아래와 같이 새로운 연산자를 정의하면

    a±=12(yddy)

    Hamiltonian operator는 다음과 같이 정리 된다.

    H^=ω(a+a+12)

     

    여기서 a±은 아래의 성질을 가진다.

    a+a=H^ω12

    aa+=H^ω+12

    이므로 교환자를 계산하면 [a+,a]=1 이다.

     

    또한 a± 사다리 연산자 (ladder operator)라고 불리는데, 이유는

    H^a+ψ=ω(a+a12)(a+ψ)=a+ω(aa++12)ψ=a+ω(H^ω+1)ψ=a+(E+ω)ψ=(E+ω)a+ψH^aψ=ω(a+a+12)aψ=ω(aa+12)aψ=(Eω)aψ

    이렇게 에너지를 ω만큼 올리고 내리기 때문이다.

     

    여기서 바닥 상태의 파동함수를 ψ0라 할 때 에너지가 바닥보다 낮을 수 없으니 aψ0=0이어야 한다. (바닥이 존재하는 이유는 불확정성 원리 때문이다. 에너지가 0이면, 운동도 하지 않기에 운동량과 위치 불확정량이 모두 0이 되기 때문에 불확정성 원리에 어긋나기 때문이다.)

    H^ψ0=ω(a+a+12)ψ0=12ωψ0

    이고, 올림 연산자는 ω씩 에너지를 올리므로

    En=ω(n+12),n=0,1,2,

    임을 알 수 있다.

     

    미분 방정식 aψ0=0를 풀면

    12(yψ0dψ0dy)=0

    1ψ0dψ0dy=y

    ψ0=Aexp(y22), y=xα=mωx

    여기서 A는 적분 상수이다.

     

    n번 에너지 상태일때의 파동함수는 올림 연산자를 n번 적용시킨 것이므로

    a+nψ0=A(12)n(yddy)nexp(y22)

     

    cf)

    (yddy)n은 위에서 로드리게스 공식(Rodrigues's fomular)를 유도하였을 때와 같은 방법으로 다음과 같음을 알 수 있다.(확률론 버전의 에르미트 다항식이다.)

    (yddy)n=(1)nexp(y22)dndynexp(y22)=(2)n(1)nexp(y2)dndynexp(y2)

     

    n은 반드시 음이 아닌 정수값이어야 하는가?

    a±=12(yddy)

    에서 a+=a임을 알 수 있고, a+a는 켤래끼리 곱하였으므로 실수 고유값을 가진다. 그럼 N^=a+a, N^|n=n|n이라 할 때,

    n=a+a=n|a+a|n=||a|n||2

    에서 n0이어야 하며,  a의 고유값이 n이므로 a|n=n|n1임을 알 수 있다.

    ak|n=n(n1)(nk+1)ketnk

    에서 만약 n이 정수가 아니면, 고유값이 실수가 아니게 되므로, 실수인 에너지를 가지려면, n은 음이 아닌 정수여야함을 알 수 있다.

    Orthogonality

    Hm(y)Hn(y)ey2dy=0 (mn)

    Hn(y)exp(y22)가 슈뢰딩거 방정식의 해이기 때문에 Strum-Liouvile Theory에 따라 위와 같은 Orthogonality를 가진다. (2.슈뢰딩거 방정식(Schrodinger Equation과 해의 직교성 참고)

    Summary of Qumtum Harmonic Ocillator

    지금까지의 결과를 정리하면 아래와 같다.

    22md2ψdx2+12kfx2=Eψ, ω=kfm

    ψ(x)=NnHn(y)exp(y22), y=mωx=(mkf2)14x

    Hn=(2yddy)n1=(1)ney2dndyney2

    En=ω(n+12)

    Nn=(1απ2nn!)12 α=mω=(mkf)14

     

    에르미트 다항식의 성질

    Hn+1=2yHn2nHn1ddyHn=2nHn1

     

    참고문헌

    Atkins' Physical Chemistry 11e

    https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%97%90%EB%A5%B4%EB%AF%B8%ED%8A%B8_%EB%8B%A4%ED%95%AD%EC%8B%9D

     

    에르미트 다항식 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전

    위키백과, 우리 모두의 백과사전. 확률론 에르미트 다항식 H n ( x ) {\displaystyle H_{n}(x)} 의 그래프 ( n = 1 , … , 6 {\displaystyle n=1,\ldots ,6} ) 물리학 에르미트 다항식 H ~ n ( x ) {\displaystyle {\tilde {H}}_{n}(x)

    ko.wikipedia.org

    https://elementary-physics.tistory.com/110

     

    [양자역학] 3.2 에르미트 다항식 Hermite Polynomials

    지난 페이지에서는 harmonic oscillator의 energy가E=(n+12)ω    ,    n=0,1,2,만 가능하다는 것을 살펴보았다. 이번 페이지에서는 Hamiltonian operator의 eigenvector에 대하여 알아

    elementary-physics.tistory.com

     

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