양자역학
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[양자역학] 9.분자 오비탈(Molecular Orbital)과 변분 원리(Variation Principle)양자역학 2024. 7. 9. 15:54
지난 글에서는 분자의 결합구조를 설명하는 Valance Bond Theory에 대해서 살펴보았다. 이번에는 분자의 에너지를 설명하는 분자 오비탈에 대해서 알아보자 \(\mathrm{H}_2^+\) Molecular Orbital분자 오비탈은 분자에 대해서 슈뢰딩거 방정식을 풀어서 얻는다. 그런데 위의 \(\mathrm{H}_2^+\)는 삼체 문제이므로 이 상태로 해석적인 해를 구하는 것이 불가능하다. 다만 두 원자핵의 거리가 \(R\)로 일정하다는 Born Oppenheimer Approximation을 적용하면 해를 구할 수 있다. 하지만 이 방법은 복잡한데다가, \(\mathrm{H}_2^+\) 말고는 적용하기 어렵기에 해를 구하는 과정은 생략한다. Linear Combination of Atomic..
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[양자역학] 8.Valance Bond Theory와 Hybrid Orbital + 시각화양자역학 2024. 7. 8. 15:55
지난글에서는 수소꼴 원자의 오비탈을 슈뢰딩거 방정식을 풀어서 구해보고, python으로 시각화도 해보았다. 이번글에서는 일반화학 강의때 들어보았을 Hybrid Orbital에 대해서 알아볼 것이다. Born Oppenheimer Approximation핵은 전자에 비해서 아주 느리게 움직이기 때문에 핵들은 임의의 간격으로 고정되어 있다고 가정하고 방정식을 풀이하는 것이다. Valance Bond Theory스핀이 다른 두 고립 전자(unpaired electron)를 생각해보자. 두 원자핵의 거리가 매우 가깝다면, 전자는 1번 원자의 파동함수에 속할 수도 있고, 2번 원자의 파동함수에 속할 수도 있을 것이다. 그런데 두 가지 경우에 대해 구별이 불가능하므로 이를 중첩으로 표현하는 것이 올바른 표현이다...
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[양자역학] 7.수소꼴 원자 모형 (Hydrogenic Atoms Model)과 시각화양자역학 2024. 6. 24. 20:24
지난 글에서는 구면에서의 회전 운동을 기술하는 슈뢰딩거 방정식을 풀고, 그 해인 구면 조화 함수(Spherical Harmonic Functions)에 대해서 알아보았다. 이번에는 수소꼴 원자 모형에 대해서 슈뢰딩거 방정식을 풀어보자. (지난번 글과 내용이 이어지니 보고오는 것을 추천한다.) 구면좌표 표기법에는 physics convention과 mathmatical convention 2가지가 있는데, 아래와 같은 physics convention을 따르고 있으니 했깔리지 않도록 유의바란다.Hydrogenic Atoms (수소꼴 원자)수소꼴 원자는 전자가 하나밖에 없는 원자나 이온으로 \( \mathrm{ H, He^+, Li^{2+} } \)등이 해당한다. 여기서 왜 일반적인 원자 모형이 아니라 수..
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[양자역학] 6.회전 운동(Rotational Motion)과 구면 조화 함수(Spherical Harmonic Function)양자역학 2024. 6. 23. 13:39
이번 글에서는 중심과 일정한 거리를 유지하면서 회전하는 입자에 대한 슈뢰딩거 방정식을 풀어볼 것이다. 이 경우 \(x ,y, z\)의 데카르트 좌표계에서 푸는 것보다, \(r, \theta, \phi\)의 구면좌표에서 풀면, 변수가 하나 줄어서 풀기 수월하다. 이때 구면좌표 표기법에는 physics convention과 mathmatical convention 2가지가 있는데, 아래와 같은 physics convention을 따르고 있으니 했깔리지 않도록 유의바란다.참고로 그리스 문자 phi는 2가지 폰트가 있다. \(\phi, \varphi \)Classical Physics: Moment of Inertia and Angular Momentum진동 운동에서 그러하였듯 회전에 관한 고전역학적 개념부터..
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[양자역학] 5.델 연산자와 라플라시안의 좌표변환양자역학 2024. 6. 22. 17:10
회전 운동에 대한 슈뢰딩거 방정식을 풀기전, 미분 기하등의 과목을 배우지 않은 사람을 위해서 델 연산자와 라플라시안의 좌표변환에 대해서 다루려고 한다. 양자역학 뿐만이 아니라 여러 분야에 쓰이는 중요한 개념이니 제대로 알고 넘어가는 것을 추천한다.미분 연산자의 변수변환중심과 일정한 거리를 유지하는 회전 운동일 경우 데카르트 좌표계에서 풀게되면 \(x, y, z\) 세 변수에 대해서 풀어야 하지만, 원통 좌표계나, 구면 좌표계에서의 표현으로 바꿀 경우, \(r\)이라는 변수 한개가 사라져서 편리하게 풀 수 있다. 설령 \(r\)이 상수가 아닌 경우라도 회전 운동은 원통이나 구면 좌표에서 푸는 것이 편리하다. 그러면 표현을 바꾸는 방법을 살펴보자, 원통 좌표계를 예시로 들었다. 찾고자 하는 함수가 \( \..
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[양자역학]4.양자 조화 진동자 (Quantum Harmonic Oscillator)양자역학 2024. 5. 19. 20:39
지난 글에서는 양자역학적인 병진 운동을 살펴보고, 터널링 현상에 대해 알아보았다.이번에는 입자의 진동 운동에 대해서 슈뢰딩거 방정식을 풀어보자.Classical Harmonic Ocillator용수철 상수가 \(k_f\)인 용수철에 질량 \(m\)을 가진 물체가 매달려서 진동하고 있다고 생각해보자. 초기 위치를 0이라고 할 때, 이를 기술하는 미분방정식과 해는 아래와 같다.$$m\dfrac{d^2 y}{dt^2} = -k_f x $$$$y(t) = A \sin \left(\sqrt{\dfrac{k_f}{m}} t \right) $$주기 \(T\)와 각진동수\(\omega\)는 다음과 같다.$$ \begin{align} T &= \dfrac{2 \pi} {\sqrt{ \dfrac{m}{k_f}}}\\ \o..
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[양자역학]3.병진 운동 (Translational Motion)과 터널링(Tunneling)양자역학 2024. 5. 19. 11:20
지난 포스트에서 슈뢰딩거 방정식을 유도해보고, 적절한 경계조건하에서 서로 직교하는 무수히 많은 해가 나온다는 것을 보았다. 이번에는 이를 이용해서 완전히 자유롭게 움직이는 입자와 포텐셜 우물에 갖힌 입자(Particle in a box), 터널링 현상에 대해서 알아보자자유롭게 움직이는 입자1차원에서 자유롭게 움직이는 입자의 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.$$-\dfrac{\hbar^2}{2m} \dfrac{d^2\psi}{dx^2} = E\psi$$그리고 이 방정식의 해는 아래와 같다.$$\psi = A\exp(ikx) + B\exp(-ikx), k=\dfrac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$$별다른 초기조건이나 경계 조건이 없기 때문에 A, B는 특정할 수 없으며, 연속적인 에너지를 가질 수 있다...
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[양자역학]2.슈뢰딩거 방정식 (Schrodinger Equation)과 해의 직교성양자역학 2024. 5. 18. 22:10
양자역학의 메인인 슈뢰딩거 방정식을 유도해보고, 해의 성질에 대해 알아보자Schrodinger Equation보어의 양자화 가설로 부터 \(E = h\nu \), 드 브로이의 물질파로 부터 \(p = \dfrac{h}{\lambda} \)라는 것에서 부터 출발하자여기서 \(h\)는 플랑크 상수, \(\nu\)는 진동수(v가 아닌 그리스 문자 nu이다), \(p\)는 운동량, \(\lambda\)는 파장이다.각진동수 (angular frequency) $$\omega = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi \nu $$파수 (wave number) $$k = \dfrac{2\pi}{\lambda}$$디렉 상수 $$\hbar = \dfrac{h}{2\pi} $$를 이용하면, 운동에너지와 운동량은 아래와 ..