[양자역학] 5.델 연산자와 라플라시안의 좌표변환

회전 운동에 대한 슈뢰딩거 방정식을 풀기전, 미분 기하등의 과목을 배우지 않은 사람을 위해서 델 연산자와 라플라시안의 좌표변환에 대해서 다루려고 한다. 양자역학 뿐만이 아니라 여러 분야에 쓰이는 중요한 개념이니 제대로 알고 넘어가는 것을 추천한다.

미분 연산자의 변수변환

중심과 일정한 거리를 유지하는 회전 운동일 경우 데카르트 좌표계에서 풀게되면 \(x, y, z\) 세 변수에 대해서 풀어야 하지만, 원통 좌표계나, 구면 좌표계에서의 표현으로 바꿀 경우, \(r\)이라는 변수 한개가 사라져서 편리하게 풀 수 있다. 설령 \(r\)이 상수가 아닌 경우라도 회전 운동은 원통이나 구면 좌표에서 푸는 것이 편리하다. 그러면 표현을 바꾸는 방법을 살펴보자, 원통 좌표계를 예시로 들었다.

 

찾고자 하는 함수가  \( \psi(r, \phi, z) \)이고, \(x, y, z\)에 대한 표현을 알고 있다. \( \psi(r, \phi, z) \) 를 찾기 위해 \(r, \phi, z\)를  \(x, y, z\)에 대한 함수로 보고 Chain Rule을 이용하면

$$ \dfrac{\partial \psi}{\partial x} = \dfrac{\partial \psi}{\partial r} \dfrac{\partial r}{\partial x} + \dfrac{\partial \psi}{\partial \phi} \dfrac{\partial \phi}{\partial x} + \dfrac{\partial \psi}{\partial z} \dfrac{\partial z}{\partial x} $$

여기서 \(\psi \)를 빼면 미분연산자의 좌표변환이 되는 것이다. 저 미분값을 계산해서 하나씩 대입해도 되지만, 이렇게 하는 것보다 행렬을 이용하면 깔끔하게 표현할 수 있다. (중복해서 적는 부분을 줄여주어서 손이 덜 고생한다.)

$$ \begin{bmatrix} \dfrac{\partial}{\partial x} && \dfrac{\partial}{\partial y} && \dfrac{\partial}{\partial z} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial}{\partial r} && \dfrac{\partial}{\partial \phi} && \dfrac{\partial}{\partial z} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dfrac{\partial r}{\partial x} && \dfrac{\partial r}{\partial y} && \dfrac{\partial r}{\partial z} \\ \dfrac{\partial \phi}{\partial x} && \dfrac{\partial \phi}{\partial y} && \dfrac{\partial \phi}{\partial z} \\ \dfrac{\partial z}{\partial x} && \dfrac{\partial z}{\partial y} && \dfrac{\partial z}{\partial z} \\ \end{bmatrix} $$

가만히 보면 오른쪽에 곱해지는 행렬은 쟈코비안(jacobian)임을 알 수 있다. 쟈코비안으로 표기하면 다음과 같다.

$$ \begin{bmatrix} \dfrac{\partial}{\partial x} && \dfrac{\partial}{\partial y} && \dfrac{\partial}{\partial z} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial}{\partial r} && \dfrac{\partial}{\partial \phi} && \dfrac{\partial}{\partial z} \end{bmatrix} \dfrac{\partial(r, \phi, z)}{\partial(x, y, z)} $$

Spherical Coordinate (구면 좌표)

구면좌표를 표기하는 방법은 2가지 convention이 있는데 physics convention을 따를 것이다. (참고로 그리스 문자 phi는 2가지 폰트가 있다. \(\phi, \varphi \) )

 

Del Operator의 좌표 변환

슈뢰딩거 방정식에 있는 라플라시안을 구면 좌표에서 표현하기 위해선 먼저 델 연산자의 좌표를 바꿀 것이다. 먼저 데카르트 좌표계에서 라플라시안은 다음과 같이 정의된다.

$$ \nabla =\hat{x} \dfrac{\partial}{\partial x} + \hat{y} \dfrac{\partial}{\partial y} + \hat{z} \dfrac{\partial}{\partial z} $$

여기서 \(\hat{x}, \hat{y}, \hat{z}\) 해당 방향에 대한 단위 기저 벡터로 데카르트 좌표계에서는 각각 \( [1, 0 ,0]^T,\ [0, 1, 0]^T,\ [0, 0, 1]^T\)에 해당한다. 다만 구면 좌표에서의 표현으로 고치기 위해선, 위에서 하였던 것처럼 미분 연산자들의 표현을 자코비안을 이용해서 바꾸어 주어야할 뿐만이 아니라, 기저도 바꾸어 주어야 한다. 기저 변환은 직접 그림을 그려서 기하적으로 구할 수도 있지만, 미분을 이용해서 해석학적으로 구한다면 \(n\)차원 공간에도 똑같이 적용가능하니 해석학적 방법을 소개하겠다.

 

구면 좌표계에서 위치 벡터를 데카르트 좌표계의 표현으로( \( \{ \hat{x}, \hat{y}, \hat{z}\ \} \)를 기저로 하여 ) 나타내면 다음과 같다.

$$ \mathbf{r} = \begin{bmatrix} r\sin\theta \cos\phi \\ r\sin\theta \sin\phi \\ r \cos\theta \end{bmatrix} $$

이를 이용하여 단위 기저 벡터들을 구하면 다음과 같다.

$$ \hat{r} = \dfrac{ \dfrac{d \mathbf{r}}{dr} }{ \left\vert \dfrac{d \mathbf{r}}{dr} \right\vert} = \begin{bmatrix} \sin\theta \cos\phi \\ \sin\theta \sin\phi \\ \cos\theta \end{bmatrix} $$

$$ \hat{\theta} = \dfrac{ \dfrac{d \mathbf{r}}{d\theta} }{ \left\vert \dfrac{d \mathbf{r}}{d\theta} \right\vert} = \begin{bmatrix} \cos\theta \cos\phi \\ \cos\theta \sin\phi \\ -\sin\theta \end{bmatrix} $$

$$ \hat{\phi} = \dfrac{ \dfrac{d \mathbf{r}}{d\phi} }{ \left\vert \dfrac{d \mathbf{r}}{d\phi} \right\vert} = \begin{bmatrix} -\sin\theta \sin\phi \\ \sin\theta \cos\phi \\ 0 \end{bmatrix} $$

 

이를 통해 다음과 같은 관계를 얻을 수 있다.

$$ \begin{align} \hat{x} &= \sin\theta \cos\phi\ \hat{r} + \cos\theta \cos\phi\ \hat{\theta} - \sin\phi\ \hat{\phi}\\ \hat{y} &= \sin\theta \sin\phi\ \hat{r} + \cos\theta \sin\phi\ \hat{\theta} + \cos\phi\ \hat{\phi}\\ \hat{z} &= \cos\theta \hat{r} + \sin\theta\ \hat{\theta} \end{align}$$

 

하나씩 계산해서 구한 뒤 \( \nabla =\hat{x} \dfrac{\partial}{\partial x} + \hat{y} \dfrac{\partial}{\partial y} + \hat{z} \dfrac{\partial}{\partial z} \)에 대입하면 구할 수 있는데, 행렬로 표현하면 조금더 깔끔하게 식을 전개할 수 있다.

$$ \nabla = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial}{\partial r} && \dfrac{\partial}{\partial \theta} && \dfrac{\partial}{\partial \phi} \end{bmatrix} \dfrac{\partial(r, \theta, \phi)}{\partial(x, y, z)} \begin{bmatrix} \sin\theta \cos\phi && \cos\theta \cos\phi && - \sin\phi \\ \sin\theta \sin\phi && \cos\theta \sin\phi && \cos\phi \hat{\phi}\\ \cos\theta && \sin\theta && 0 \end{bmatrix} $$

 

자코비안을 계산해보자. 구면좌표계와 데카르트 좌표계 사이에는 아래 관계가 있고

$$ \begin{cases} r^2 &= x^2 + y^2 + z^2\\ x &= r\sin\theta \cos\phi\\ y &= r\sin\theta \sin\phi \\ z &= r\cos\theta \end{cases} $$

이로 부터 \(\theta = \tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{z} \right) \), \(\phi = \tan^{-1} \left( \frac{y}{x} \right) \)를 얻을 수 있다. \(r\)에 대한 식을 \(x\)에 대해 음함수 미분하면

$$ 2r \dfrac{\partial r}{\partial x} = 2x $$

에서 \(\dfrac{\partial r}{\partial x} = \dfrac{x}{r} \)을 얻을 수 있다. 같은 방법으로 아래 식을 얻을 수 있다.

$$\dfrac{\partial r}{\partial x} = \dfrac{x}{r} = \sin\theta \cos\phi,\ \dfrac{\partial r}{\partial y} = \dfrac{y}{r} = \sin\theta \sin\phi,\ \dfrac{\partial r}{\partial z} = \dfrac{z}{r} = \cos\theta $$

 

역함수의 미분 \(\frac{dy}{dx} = \frac{1}{ \frac{dx}{dy} } \)을 이용하면 아크탄젠트의 미분은 다음과 같다.

$$ \dfrac{d}{dx} \tan^{-1}x = \dfrac{1}{x^2 + 1} $$

이를 이용하여 아래 식을 얻을 수 있다.

$$ \dfrac{\partial \theta}{\partial x} = \dfrac{\cos\theta \cos\phi}{r},\ \dfrac{\partial \theta}{\partial y} = \dfrac{\cos\theta \sin\phi}{r},\ \dfrac{\partial \theta}{\partial z} = \dfrac{-\sin\theta}{r} $$

$$ \dfrac{\partial \phi}{\partial x} = \dfrac{-\sin \phi}{r \sin\theta},\ \dfrac{\partial \phi}{\partial y} = \dfrac{\cos\phi }{r \sin\theta},\ \dfrac{\partial \phi}{\partial z} = 0 $$

 

결과를 종합하면

$$\begin{align} \nabla &= \begin{bmatrix} \dfrac{\partial}{\partial r} && \dfrac{\partial}{\partial \theta} && \dfrac{\partial}{\partial \phi} \end{bmatrix}\\ & \begin{bmatrix} \sin\theta \cos\phi && \sin\theta \sin\phi && \cos\theta \\ \dfrac{\cos\theta \cos\phi}{r} && \dfrac{\cos\theta \sin\phi}{r} && \dfrac{-\sin\theta}{r}\\ \dfrac{-\sin \phi}{r \sin\theta} && \dfrac{\cos\phi }{r \sin\theta} && 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sin\theta \cos\phi && \cos\theta \cos\phi && - \sin\phi \\ \sin\theta \sin\phi && \cos\theta \sin\phi && \cos\phi \hat{\phi}\\ \cos\theta && \sin\theta && 0 \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} \dfrac{\partial}{\partial r} && \dfrac{\partial}{\partial \theta} && \dfrac{\partial}{\partial \phi} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 && 0 && 0\\ 0 && \dfrac{1}{r} && 0\\ 0 && 0 && \dfrac{1}{r \sin\theta} \end{bmatrix} \end{align} $$

$$\therefore \nabla = \hat{r} \dfrac{\partial}{\partial r} + \dfrac{ \hat{\theta} }{r} \dfrac{\partial}{\partial \theta} + \dfrac{\hat{\phi}}{r\sin\theta} \dfrac{\partial}{\partial \phi} $$

Laplacian in Spherical Coordinate

라플라시안의 정의 \(\nabla^2 = \nabla \cdot \nabla\)를 이용하면

$$ \begin{align} \nabla^2 &= \nabla \cdot \nabla\\ &= \left( \hat{r} \dfrac{\partial}{\partial r} + \dfrac{ \hat{\theta} }{r} \dfrac{\partial}{\partial \theta} + \dfrac{\hat{\phi}}{r\sin\theta} \dfrac{\partial}{\partial \phi} \right) \cdot \left( \hat{r} \dfrac{\partial}{\partial r} + \dfrac{ \hat{\theta} }{r} \dfrac{\partial}{\partial \theta} + \dfrac{\hat{\phi}}{r\sin\theta} \dfrac{\partial}{\partial \phi} \right)\\ &= \hat{r} \cdot \dfrac{\partial}{\partial r} \left( \hat{r} \dfrac{\partial}{\partial r} + \dfrac{ \hat{\theta} }{r} \dfrac{\partial}{\partial \theta} + \dfrac{\hat{\phi}}{r\sin\theta} \dfrac{\partial}{\partial \phi} \right) + \dfrac{\hat{\theta}}{r} \cdot \dfrac{\partial}{\partial \theta} \left( \hat{r} \dfrac{\partial}{\partial r} + \dfrac{ \hat{\theta} }{r} \dfrac{\partial}{\partial \theta} + \dfrac{\hat{\phi}}{r\sin\theta} \dfrac{\partial}{\partial \phi} \right)\\ &+ \dfrac{\hat{\phi}}{r \sin \theta} \cdot \dfrac{\partial}{\partial \phi} \left( \hat{r} \dfrac{\partial}{\partial r} + \dfrac{ \hat{\theta} }{r} \dfrac{\partial}{\partial \theta} + \dfrac{\hat{\phi}}{r\sin\theta} \dfrac{\partial}{\partial \phi} \right) \end{align} $$

식이 조금 복잡하긴 하지만, 벡터가 미분되면, 미분되기 전 벡터랑 직교하기 때문에 내적이 0이 된다는 것을 이용하면 쉽게 정리할 수 있다. (기저 벡터도 미분해야 한다.) 식을 정리하면 구면좌표계에서 라플라시안 표현을 얻는다.

$$ \nabla^2 = \left( \dfrac{\partial^2}{\partial r^2} + \dfrac{2}{r}\dfrac{\partial}{\partial r} \right) + \left( \dfrac{1}{r^2} \dfrac{\partial^2}{\partial \theta^2} + \dfrac{\cot\theta}{r^2} \dfrac{\partial}{\partial \theta} \right) + \left( \dfrac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \dfrac{\partial^2}{\partial \phi^2} \right) $$

식을 조금 더 보기좋게 정리하면 아래와 같다.

$$ \nabla^2 = \dfrac{1}{r^2} \dfrac{\partial}{\partial r} \left(r^2 \dfrac{\partial}{\partial r} \right) + \dfrac{1}{r^2 \sin \theta} \left( \sin\theta \dfrac{\partial}{\partial \theta} \right) + \dfrac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \dfrac{\partial^2}{\partial \phi^2} $$

 

지금까지 델연산자와 라플라시안을 어떻게 다른 좌표계의 표현으로 바꾸는 지 알아보았다.(덤으로 미분 기하라는 과목이 계산 노가다가 심한 과목이라는 것도 알아보았다.) 다음 글에서는 이를 이용하여 구면 좌표계에서 슈뢰딩거 방정식을 풀어보자