[양자역학]1. 양자역학의 기본개념과 불확정성 원리

Atkins' Physical Chemistry 11e으로 양자역학 수업을 듣게 되었는데, 자세한 식 유도는 없고 간략한 소개 정도만 있었다. 또한 수학적으로 엄밀하게 집고 넘어가지 않는 부분이 많은 것 같아 독학한 내용을 정리해보려고 한다.

 

다변수 함수의 미적분, 미분방정식, 선형대수, 못해도 고등학교 수준의 확률과 통계에 대한 지식이 있다고 생각을 하고 글을 쓰겠지만, 이번 글에서는 많이 까먹은 사람을 위해서 중요한 수학적 개념을 다시 집고 넘어가면서, Bra-Ket Notation같은 양자역학의 표기법에 대해서 소개하려고 한다.

 

1. 벡터(Vector)와 기저(Basis)

고등학교에서 기하 배우는 벡터와 일반물리 등에서 벡터는 크기과 방향을 가지는 화살표라고 배웠을 것이다. 틀린 말은 아니지만 이는 유클리드 공간 \(\mathbb{R}^n\)에 국한된 설명이다. 대수학에서 벡터는 아래와 같이 유클리드 공간의 벡터가 가지는 몇가지 대수적 성질을 벡터 공간(Vector Space)의 정의로 삼아서 개념을 확장하였다.

 

쉽게 말해 아래와 같은 유클리드 공간의 두 벡터 \(\mathbf{a}, \mathbf{b}\)와 변수 \(x, y\), 함수 \(f(x), g(x)\)덧셈을 살펴보면

$$\begin{align} (3\mathbf{a} + \mathbf{b}) + (\mathbf{a} + 2\mathbf{b}) &= 4 \mathbf{a} + 3\mathbf{b}\\ (3x + y) + (x + 2y) &= 4 x + 3y\\ (3f(x) + g(x)) + (f(x) + 2g(x)) &= 4 f(x) + 3g(x) \end{align} $$

끼리끼리 더한다는 대수적인 구조는 다를 것이 없으며, 이러한 대수적 구조를 가지는 것을 벡터라고 일반화 시켜 정의하는 것이다.

 

일반적인 벡터의 정의를 이해하기 위해 필요한 것은 먼저 체(Field)의 개념이다. 체(Field)는 쉽게 말해서 사칙연산에 대해 닫혀있는 집합이라고 할 수 있는 데 구체적인 정의는 아래와 같다.

체(Field)의 정의

집합 \(\mathbb{F}\)가 체가 되기 위해선 아래와 같은 조건을 만족해야 한다.

• 집합 \(\mathbb{F}\)위에 덧셈과 곱셈이 정의되어 있다.
•  
• (A1) 덧셈에 대해 교환법칙이 성립한다.
• (A2) 덧셈에 대해 결합법칙이 성립한다.
• (A3) 덧셈의 항등원 \(0\)이 존재한다.
• (A4) \(\mathbb{F}\)의 모든 원소 \(a\)에 대해 역원 \(-a\)가 존재한다.
• (M1) 곱셈에 대해 교환법칙이 성립한다.
• (M2) 곱셈에 대해 결합법칙이 성립한다.
• (M3) 곱셈의 항등원 \(1\)이 존재한다.
• (M4) \(\mathbb{F}\)의 0이 아닌 모든 원소\(a\)에 대해서 곱셈의 역원\(a^{-1}\)가 존재한다.
• (D) 덧셈과 곱셈에 대해 좌우 분배법칙이 모두 성립한다.

이를 만족하는 대표적인 체로는 유리수체, 실수체, 복소수체 등이 있다.

*쉽게 이야기 해서, 유리수끼리 사칙연산을 했을 때 유리수만 나오기 때문에 유리수의 집합이 체가 되는 것이다. 정수의 집합일 경우 역원이 존재하지 않기에(즉 나누었을 때 항상 정수가 아니기 때문에) 체가 아닌 것이다.

 

벡터(Vector)의 정의

벡터는 체 \(\mathbb{F}\)를 스칼라로 하는 벡터 공간(Vector Space) \(V\)의 원소이며, 벡터 공간의 정의는 다음과 같다.

• 집합\(\mathbb{V}\)위에 덧셈이 정의되어 있다.(임의의 두 벡터를 더해서 만든 벡터도 벡터 공간의 원소이다.)
• (A1) 덧셈에 대해 교환법칙이 성립한다.
• (A2) 덧셈에 대해 결합법칙이 성립한다.
• (A3) 덧셈의 항등원인 영벡터 \(\mathbb{0}\)이 존재한다.
• (A4)\(\mathbb{V}\)의 모든 원소 \(v\)에 대해 덧셈의 역원인 역벡터 \(-v\)가 존재한다.
• (M1) 체 \(\mathbb{F}\)와 집합\(\mathbb{V}\)에 대해 스칼라배가 정의되어있다.
• (M2) 곱셈에 대해 결합법칙이 성립한다.
• (M3) 스칼라배에 대한 교환법칙이 성립한다.
• (M4) 스칼라배에 대한 항등원 1이 체에 존재한다.

즉 복소수 \(3 + 2i\)라 적었을 때, 실수부와 허수부 각각이 벡터의 정의를 성립하는 것을 확인할 수 있으며(체 자체도 벡터 공간의 정의를 만족하니까), 다항식, 함수 등도 벡터의 정의를 만족하는 것을 확인할 수 있다.

기저(Basis)

기저는 벡터공간 \(\mathbb{V}\)의 부분 집합중 아래 조건을 만족하는 집합 \(\mathbb{B}\)을 기저라 한다.

1. 모든 원소들은 서로 선형 독립(Linear Independent)
2. 기저의 원소들을 선형 결합을 통해 벡터공간 \(\mathbb{V} \)의 모든 원소를 나타낼 수 있다. 즉 \( \mathbb{V} = Span(\mathbb{B}) \)

2. 내적(Inner Product)의 확장

유클리드 공간 \(\mathbb{R}^n\)에서 정의된 내적은 아래와 같이 두 벡터의 대응되는 성분끼리 곱해서 더하는 것이었다.

$$ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i} ^{n} a_i b_i $$

위의 벡터와 마찬가지로 유클리드 내적의 몇가지 성질을 정의로 삼아 내적을 확장하면 아래와 같다.

 

체 \(\mathbb{F}\)를 스칼라로 하는 벡터 공간(Vector Space) \(V\)에 대하여 내적은 \(\mathbb{V} \times \mathbb{V} \mapsto \mathbb{F}\)인 함수중 아래 성질을 만족하는 함수이다.

벡터 \(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in \mathbb{V}\)와 벡터 공간의 스칼라 \(c \in \mathbb{F}\)에 대하여

1. 켤래 대칭성 \( \braket{\mathbf{u}, \mathbf{v} } = \braket{\mathbf{v}, \mathbf{u} } \)
2. 분배 법칙 \(\braket{\mathbf{u} + \mathbf{v}, \mathbf{w} } = \braket{\mathbf{u}, \mathbf{w} } + \braket{\mathbf{v}, \mathbf{w} } \)
3. 스칼라배 \(\braket{ c\mathbf{u}, \mathbf{v}} = c \braket{ \mathbf{u}, \mathbf{v} } \)
4. \( \braket{\mathbf{u}, \mathbf{u}}  \geq 0 \)

*1~3번만 성립할 경우 반내적(semi-innerproduct)라 한다.

*왜 켤래를 취하는 지 의문을 느낄 수 있는데, 4번을 만족하기 위해서이다. 

 2.1 함수 곱의 적분(내적)은 무한 차원의 백터 내적으로 이해될 수 있다.

이 이야기를 하기 위해서 앞에서 벡터와 기저에 대한 정의를 설명하였는데, 우선 두 복소함수 \(f, g\)의 내적은 아래와 같이 정의역 \(D\)에 대해서 아래와 같이 정의된다.

$$ \braket{f|g} = \int_{D} r(x)\overline{f(x)} g(x) dx $$

함수 위의 바는 켤래(conjugate) 연산을 취해준 것이며, \(r(x)\)는 가중치 함수이다. (가중치 함수는 1인 경우가 많으며, 조금더 일반적인 내적 표현을 위해 사용하는 것이다. 내적의 정의를 만족하는 지 확인해보아라)

*켤래 연산에 대해선 별표( \(*\) )나 칼표( \(\dagger\) )를 사용하기도 한다.

 

이 정의는 자연스러운 것인데, 푸리에 급수, Wavelet Transfrom을 접해보았다면, 어떤함수를 아래와 같이 직교 기저의 선형 결합으로 나타낼 수 있다는 것이 더 와닿을 것이다. (수학적으로는 스펙트럼 정리의 결과이다.)

$$ f(x) = \sum_{i=1}^{\infty} a_i y_i\ (a_i \in \mathbb{C})$$

$$ g(x) = \sum_{i=1}^{\infty} b_i y_i\ (b_i \in \mathbb{C})$$

$$ \braket{y_m|y_n} = \int_{D} r(x) \overline{y_m} y_n dx =  ||y_m||^2 \delta_{m, n}\ (\delta_{m, n}\text{ is Kronecker delta}) $$

각각의 개수들은 아래와 같이 구할 수 있다.

$$ a_i = \dfrac{ \braket{f|y_i} }{ ||y_i||^2 } $$

$$ b_i = \dfrac{ \braket{g|y_i} }{ ||y_i||^2 } $$

 

따라서 \(f, g\)의 곱적분은

$$ \int_{D} \overline{f(x)} g(x) dx = \int_{D} \left(\sum_{i=1}^{\infty} \overline{a_i} \overline{y_i} \right) \left(\sum_{i=1}^{\infty} b_i y_i \right) dx = \int_{D} \sum_{i=1}^{\infty} \overline{a_i} b_i ||y_i||^2 dx $$

여기서 만약 norm이 모두 1, 즉 직교 정규화된 기저라면은 유클리드 내적이랑 같아짐을 알 수 있다.

*참고 유한합과 적분의 순서는 그냥 바꿀 수 있다. 그러나 급수와 적분의 순서는 그냥 바꿀 수 없다.

$$ f_n (x) = \sum_{i=1}^{n} a_i y_i$$

$$ f(x) = \lim_{n \rightarrow \infty}  f_n (x)$$

이므로 함수열 \(f_n\)이 균등수렴(uniform convergence), 즉 적당한 양수 \(\epsilon\)에 대해서

$$ | f(x) - f_n (x) | < \epsilon $$

인 \(n\)이 항상 존재한다는 조건이 필요하다는 것을 유념할 필요가 있다. 다만 스펙트럼 정리에 따르면, \(a_i\)가 단조 감소하고, 0으로 수렴하므로, 균등수렴성이 보장된다.

3.Bra-ket Notation

앞에서 함수 곱의 적분은 무한 차원의 벡터 내적이 됨을 확인해보았다. 양자역학에서는 슈뢰딩거 방정식을 풀게되면, 대게 무한한 기저를 갖는다. 이때 기저함수를 직교정규화(Orthonomal)시켜서 다루게 되기에 가중함수를 따로 두지 않으며 (1이라 생각할 수도 있다.) 이를 편하게 다루기 위해 다음과 같은 폴 디렉이 고안한 표기법이 사용된다.

$$ f(x) = \sum_{i=1}^{\infty} a_i y_i\ (a_i \in \mathbb{C})$$

$$ g(x) = \sum_{i=1}^{\infty} b_i y_i\ (b_i \in \mathbb{C})$$

 

내적

$$\braket{f|g} = \int_{D} \overline{f(x)} g(x) dx = \begin{bmatrix} \overline{a_1} & \overline{a_2} & \cdots \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_1\\ b_2\\ \vdots \end{bmatrix} = \sum_{i=1}^{\infty} \overline{a_i} b_i $$

 

브라(Bra)

$$\bra{f} = \int_{D} \overline{f(x)} \{\ \} dx = \begin{bmatrix} \overline{a_1} & \overline{a_2} & \cdots  \end{bmatrix} $$

 

캣(Ket)

$$\ket{g} = \int_{D} \overline{ \{\ \} } g(x) dx =  \begin{bmatrix} b_1\\ b_2\\ \vdots \end{bmatrix} $$

*Bra 와 Ket은 함수를 입력받는 함수가 되므로 범함수(functional)이 된다.

 

3. 고유값(Eigen value), 고유함수(Eigen function), 연산자(Operator), 가관측량(Obserable)

어떤 함수 \(\psi\)와 연산자 \( \hat{\Omega}\)에 대해서

$$\hat{\Omega} \psi = w \psi $$

인 관계를 만족할 때, \(w\)를 고유값(eigen value), \(\psi\)를 고유함수라 한다. 그리고 만약 연산자가 운동량 위치등 관측 가능한 물리량인 가관측량(Obserable)에 대한 연산자라면, 연산자의 고유값은 대응되는 물리량 값이 된다. 예를 들어 위치 표현에서 운동량과 위치 연산자는 다음과 같다.

$$ \hat{p_x} = \dfrac{\hbar}{i}\dfrac{\partial}{\partial x} $$

$$ \hat{x} = x $$

만약 구한 파동함수가 \(\psi = \exp{(ikx)}\)라면 이 파동함수가 가지고 있는 운동량은 다음과 같다.

$$ \hat{p_x} \psi = \hbar k \psi $$

$$ \therefore p_x = \hbar k $$

*수학적 엄밀히 따진다면, 연산자는 선형 컴펙트 연산자, 즉 선형변환이다. (행렬에만 고유값과 고유벡터가 존재할 것이라는 생각은 버려랴)

4.교환자(Commutater)

위에서 연산자에 대해서 소개를 하였는데, 양자역학에서 쓰이는 연산자는 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않는다. 그래서 교환법칙에서 얼마나 벗어나있는지 알 필요가 있는데 이때 사용하는 것이 교환자이다. 두 대상 \(a, b\)에 대해서 교환자 \([a, b]\)는 아래와 같이 정의된다.

$$[a, b] = ab - ba $$

만약 \(a, b\)간에 교환법칙이 성립하게 되면, 교환자의 값은 0이 되며, 교환법칙이 성립하지 않을 경우 0이 아닌 값을 갖게 된다. 그러면 역학에서 많이 쓰이는 위치와 운동량이 교환가능할까?

$$[\hat{x}, \hat{p_x}] = \hat{x}\hat{p_x} - \hat{p_x}\hat{x} = x \dfrac{\hbar}{i}\dfrac{\partial}{\partial x} \cdot 1 - \dfrac{\hbar}{i}\dfrac{\partial}{\partial x} x = i\hbar $$

교환이 불가능 하다는 것을 알 수 있다.

 

참고로 교환자를 사용하면 위치를 변수로 둘때의 연산자의 변수를 운동량으로 바꿀 수도 있다. 위치를 변수로 두는 위치 표현에서 위치와 운동량 연산자는

$$ \hat{p_x} = \dfrac{\hbar}{i}\dfrac{\partial}{\partial x} $$

$$ \hat{x} = x $$

인데 \( [\hat{x}, \hat{p_x}] = i\hbar\), 운동량을 변수로 둘때 운동량 연산자는 \(\hat{p_x} = p_x\)임을 이용한다면,

$$ \hat{x}\hat{p_x} - \hat{p_x}\hat{x} = i\hbar $$

$$\hat{x}p_x - p_x \hat{x} = i\hbar $$

$$ \therefore \hat{x} = i\hbar \dfrac{\partial}{\partial p_x} $$

임을 도출할 수 있다.

5.Hermitian Operator와 Orthogonality

Hermitian operator는 어떤 함수 \(\psi\)에 대해 다음식을 만족하는 연산자로 정의된다.

$$\braket{\psi_i | \hat{\Omega} | \psi_j} = \overline{ \braket{\psi_j | \hat{\Omega} | \psi_i} }$$

편의상 윗줄 대신 \(*\)사용하고 적분 형태로 표현하면 아래와 같다.

$$ \int \psi_i^* \hat{\Omega} \psi_j dx = \left( \int \psi_j^* \hat{\Omega} \psi_i dx \right)^* $$

 

이때 Hermiticity를 가지고 있다면, Orthogonality도 가지고 있다.

$$ let\ \hat{\Omega} \ket{\psi_n} = w_n \ket{psi_n} $$

Hermiticity로 부터

$$ \int \psi_i^* w_j \psi_j dx = \left( \int \psi_j^* w_i \psi_i dx \right)^* $$

$$ w_j \int \psi_i^* \psi_j dx =  w_i^* \left( \int \psi_j^* \psi_i dx \right)^* $$

$$ w_j \braket{\psi_i | \psi_j} = w_i^* \overline{ \braket{\psi_j | \psi_i}} $$

$$ w_j \braket{\psi_i | \psi_j} = w_i^*  \braket{\psi_i | \psi_j} $$

이 식이 항상 성립하려면

$$ w_i = w_i^*\ (i = j) $$

$$ \braket{\psi_i | \psi_j} = 0\ (i \neq j)$$

이어야 한다. 이를 통해 Hermiticity를 가지고 있다면, Orthogonality를 가지고 있다는 것을 알 수 있으며, Hermitian operator의 고유값은 실수가 되어야 함을 알 수 있다.

6. 기대값(Expectation)

통계에서 확률 변수의 평균값을 기대값이라고 하며, 이산 확률 변수 \(X\)의 기대값 \(E(X)\)는 \(x_i \in X\)에 대응되는 확률을 \(p_i\)라 할 때, 다음과 같이 구할 수 있다.

$$ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n $$

 

예를 들어 1점짜리 제비가 3개 2점 제비 2개, 3점 제비 1개가 있는 상자에서 뽑은 제비를 다시 상자에 넣어가면서 반복적으로 제비를 뽑는다고 해보자. 그럼 뽑은 사람의 점수 평균은 다음과 같이 구할 수 있을 것이다.

$$ \dfrac{ (\textrm{1 점}) \times (\textrm{뽑은 1점자리 제비 수}) +(\textrm{2 점}) \times (\textrm{뽑은 2점자리 제비 수}) + (\textrm{3 점}) \times (\textrm{뽑은 3점자리 제비 수}) }{(\textrm{시행 횟수})} $$

그럼 시행횟수가 무수히 많은 경우, 즉 이론적인 평균인 기대값은 어떻게 될까? (뽑은 1점 짜리 제비 수)/(시행 횟수)는 이론적인 확률인 (상자에 있는 1점 짜리 제비 수)/(전체 제비 수) = (1점 짜리 제비를 뽑을 확률)이 된다. 이를 식으로 적으면 다음과 같다.

$$ E(X) =  \sum_i x_i p_i$$

 

양자역학의 파동함수는 아래 처럼 무수히 많은 기저 함수가 중첩되어 있는 상태이다.

$$ \psi = \sum_i c_i \psi_i = c_1 \psi_1 + c_2 \psi_2 + \cdots = \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \end{bmatrix} $$

 

여기서 관측을 하면, 중첩되어 있는 무수히 많은 함수 중 한 개를 관찰하게 된다. (코펜하겐 해석) 그러면 평균값은 어떻게 될까? \(|c_i|^2\)이 각 고유값에 대한 확률이 되므로 파동함수 고유값의 기대값은 \( \hat{\Omega} \ket{\psi_n} = w_n \ket{\psi_n} \)라 할 때 다음과 같이 구할 수 있다.

$$ \begin{align} \braket{\Omega} &= \sum_i |c_i|^2 w_i \\ &= |c_1|^2 w_1 + |c_2|^2 w_2 + \cdots \\ &= \begin{bmatrix} c_1^* & c_2^* & \cdots \end{bmatrix} \begin{bmatrix} w_1 c_1 \\ w_2 c_2 \\ \vdots \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} c_1^* & c_2^* & \cdots \end{bmatrix} \hat{\Omega} \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \end{bmatrix}\\ &= \bra{\psi} \hat{\Omega} \ket{\psi} \end{align} $$

 

참고로 선형대수에 익숙치 않은 사람을 위해서 적분 표현을 사용해서 유도하면 아래와 같다.

$$ \begin{align} \braket{\Omega} &= \sum_i |c_i|^2 w_i \\ &= \sum_i |c_i|^2 w_i \int_{D} \psi_i^* \psi_i dx \\ &= \sum_i \int_{D} c_i^* \psi_i^* w_i c_i \psi_i dx \\ &= \sum_i \int_{D} c_i^* \psi_i^* \hat{\Omega} c_i \psi_i dx \\ &= \int_{D} c_1^* \psi_1^* \hat{\Omega} c_1 \psi_1 dx + \int_{D} c_2^* \psi_2^* \hat{\Omega} c_2 \psi_2 dx + \cdots \\ &= \int_{D} ( c_1^* \psi_1^* \hat{\Omega} c_1 \psi_1 + c_2^* \psi_2^* \hat{\Omega} c_2 \psi_2 dx + \cdots ) dx \\ &= \int_{D} ( c_1 \psi_1 + c_2 \psi_2 + \cdots )^* \hat{\Omega} ( c_1 \psi_1 + c_2 \psi_2 + \cdots ) dx\ (\because \int_D \psi_i^* \psi_j dx = 0, i \neq j) \\ &= \int_{D} \psi^* (\hat{\Omega} \psi) dx \\ &= \bra{\psi} \hat{\Omega} \ket{\psi} \end{align} $$

 

7. 오일러 공식

$$ e^{ix} = \cos{x} + i \sin{x} $$

눌러서 증명보기

미분방정식을 이용하면 간단하게 증명할 수 있다.

\(z = \cos{x} + i \sin{x} \)라 둔다면

$$ \dfrac{dz}{dx} = -\sin{x} + i \cos{x} = iz $$

$$  \dfrac{1}{z} \dfrac{dz}{dx} =  i $$

$$  \int \dfrac{1}{z} \dfrac{dz}{dx} dx =  \int i dx $$

$$ \ln{z} = ix + C' $$

$$ z = C e^{ix} $$

\(x = 0 \)때 \(z = 1 \)이므로

$$ z = e^{ix} $$

$$ \therefore e^{ix} = \cos{x} + i \sin{x} $$

 

하이젠베르크의 불확정성 원리(Heisenberg's Uncertainty Principle)

두연산자 \(\hat{A}, \hat{B}\)와 대응되는 물리량의 표준편차 \(\sigma_A, \sigma_B\)에 대해서 다음이 성립한다.

$$ \sigma_A \sigma_B \geq \dfrac{\hbar}{2}  \left\vert \left[\hat{A}, \hat{B}\right] \right\vert $$

\([\hat{x}, \hat{p_x}] = i\hbar\)를 적용하면 유명한 식이 나온다.

$$ \Delta x \Delta p = \sigma_x \sigma_p \geq \dfrac{\hbar}{2} $$

 

이에 대한 증명은 무한 차원의 복소 벡터에 대한 Cauchy-Schwarz inequality를 이용한다.

Cauchy-Schwarz inequality

두 벡터 \(\mathbf{u}, \mathbf{v}\)와 내적 \(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}\)가 정의될 때 다음 식이 항상 성립한다.

$$ || \mathbf{u} ||^2 || \mathbf{v} ||^2 \geq |\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} |^2 $$

 

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Lemma 1

두 벡터 \(\mathbf{u}, \mathbf{v}\) 에 대해서 다음 식이 항상 성립한다.

$$ \Re(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}^*) \geq  |\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}|  $$

$$ \begin{align} \mathbf{u} \cdot \mathbf{v}^* &= (\Re(\mathbf{u}) + \Im(\mathbf{u})) \cdot(\Re(\mathbf{v}^*) + \Im(\mathbf{v}^*))\\ &= (\Re(\mathbf{u}) + \Im(\mathbf{u})) \cdot(\Re(\mathbf{v}) - \Im(\mathbf{v}))\\ &= \Re(\mathbf{u}) \cdot \Re(\mathbf{v}) + \Im(\mathbf{u}) \cdot \Re(\mathbf{v}) - \Re(\mathbf{u}) \cdot \Im(\mathbf{u}) - \Im(\mathbf{u}) \cdot \Im(\mathbf{v})   \end{align}$$

이므로

$$ \begin{align} \Re(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}^*) &=\Re(\mathbf{u}) \cdot\Re(\mathbf{v})  - \Im(\mathbf{u}) \cdot \Im(\mathbf{v}) \\ &= |\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}| - 2 \Im(\mathbf{v}) \cdot \Im(\mathbf{v})\\  &\geq  | \mathbf{u} \cdot \mathbf{v}|    \end{align}$$

*\(\Re\)라는 함수는 복소수에서 실수부분을 반환하는 함수, \(\Im\)은 허수 부분을 반환하는 함수이다. \(\Re(a+ib) = a\), \(\Im(a+ ib) = ib \)

 

\(t \in \mathbb{R} \)에 대해서

$$ 0 \leq || t \mathbf{u} + \mathbf{v} || ^2 $$

가 항상 성립한다. (실수의 제곱이니까)

$$\begin{align} 0 &\leq || t \mathbf{u} + \mathbf{v} || ^2\\ &= ( t \mathbf{u}^* + \mathbf{v}^*) \cdot ( t \mathbf{u} + \mathbf{v} ) \\ &= ||\mathbf{u}||^2  t^2 +  \mathbf{u} \cdot \mathbf{v}^* +  \mathbf{u}^* \cdot \mathbf{v} + || \mathbf{v} ||^2 \\ &= ||\mathbf{u}||^2  t^2 + 2\Re(\mathbf{u} \cdot\mathbf{v}^*) + || \mathbf{v} ||^2 \end{align} $$

 

이는 \(t\)에 대한 이차방정식이므로 판별식 \(D/4 \leq 0\)이어야 한다. 그러므로 Lemma 1을 이용하여 계산하면

$$ \begin{align} 0 &\geq  ( \Re(\mathbf{u} \cdot\mathbf{v}^*) )^2 - ||\mathbf{u}||^2 ||\mathbf{v}||^2\\ &\geq  | \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} |^2 -  ||\mathbf{u}||^2 ||\mathbf{v}||^2 \end{align} $$

$$ \therefore || \mathbf{u} ||^2 || \mathbf{v} ||^2 \geq |\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} |^2 $$

*참고로 이렇게 증명을 했기 때문에 무한 차원의 힐베르트 공간에서도 사용할 수 있는 것이다.

불확정성 원리 메인 증명

물리량 \(A\)에 대한 기대값은 \(A\)에 대한 연산자를 \(\hat{A}\)라 할 때 \(\braket{A} = \bra{\psi} \hat{A} \ket{\psi}\)이다. 그러므로 표준편차는 \( \sigma_A =  \sqrt{\bra{\psi} (A - \braket{A})^2 \ket{\psi}}\)가 된다.

 

조금 더 간결한 표기를 하기 위해 두 물리량 \(A, B\)에 대해 아래와 같은 벡터를 정의하자

$$ \begin{align} \ket{\psi_A} &= (A - \braket{A})\ket{\psi} \\ \ket{\psi_B} &= (B - \braket{B})\ket{\psi} \end{align} $$

그러면 분산은 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$ \begin{align} \sigma_A^2 &= \braket{\psi_A | \psi_A}\\ \sigma_B^2 &= \braket{\psi_B | \psi_B} \end{align} $$

두 분산의 곱을 Cauchy-Schwarz inequality를 사용하여 전개 하면

$$ \begin{align} \sigma_A^2 \sigma_B^2 &= \braket{\psi_A | \psi_A} \braket{\psi_B | \psi_B}\\ &= || \ket{\psi_A} ||^2\ ||\ket{\psi_B}||^2\\  &\leq |\braket{\psi_A | \psi_B}|^2\ (\because || \mathbf{a} ||^2 \ || \mathbf{b} ||^2 \leq | \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} |^2 )  \\ &= |\Re(\braket{\psi_A | \psi_B})|^2 + |\Im(\braket{\psi_A | \psi_B})|^2 \\ &\leq |\Im(\braket{\psi_A | \psi_B})|^2 \end{align} $$

그러므로 표준편차의 곱은

$$ \begin{align} \sigma_A \sigma_B &\leq |\Im(\braket{\psi_A | \psi_B})|\\ &= \left\vert \dfrac{\braket{\psi_A | \psi_B} - (\braket{\psi_A | \psi_B})^* }{2i} \right\vert\\ &= \dfrac{1}{2} \left\vert \braket{\psi_A | \psi_B} - (\braket{\psi_A | \psi_B})^* \right\vert\\ &= \dfrac{1}{2} \left\vert \braket{\psi_A | \psi_B} - \braket{\psi_B | \psi_A} \right\vert   \\&= \dfrac{1}{2} \left\vert \bra{\psi} (\hat{A} - \braket{A}) (\hat{B} - \braket{B}) \ket{\psi} - \bra{\psi} (\hat{B} - \braket{B}) (\hat{A} - \braket{A}) \ket{\psi} \right\vert \end{align} $$

여기서 \(\braket{A}, \braket{B}\)가 실수값이라 교환가능하다는 것을 상기하면 아래와 같이 정리된다.

$$ \begin{align}  \sigma_A \sigma_B &\leq \dfrac{1}{2} \left\vert \bra{\psi}( \hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A} ) \ket{\psi} \right\vert\\ &= \braket{\left[ \hat{A}, \hat{B} \right]} \end{align} $$

 

참고문헌

Atkins' Physical Chemistry 11e

David C Lay, Steven R Lay, Judi J McDonald - Linear Algebra and Its Applications -Pearson (2020)