통계역학
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[열역학] 8.통계역학 맛보기: 대정준 앙상블(Grand Canonical Ensemble)열역학 2024. 7. 17. 23:17
대정준 앙상블 (Grand Canonical Ensemble)앞서 살펴본 canonical ensemble과 canonical ensemble은 각각 \(( N, V, E) \)가 일정한 고립계, \( (N, V, T )\)가 일정한 닫힌계에 대한 ensemble이 었다. 그런데 열려있거나 닫혀있어도 화학 반응 등으로 입자의 수가 변하는 경우도 생각해볼 수 있을 것이다. 계가 열적, 화학적 평형을 이루었다면 온도와 화학 포텐셜(chemical potential) \(\mu\)가 일정하게 유지되기에 \(V, T, \mu \)가 일정한 ensemble이 된다. (화학 포텐셜에 대해서는 여기를 참고하면 된다.) 그러므로 아래 그림과 같이 우리가 관심있는 계와 그 주변을 둘러싼 거대한 환경을 생각해보자.계와 주..
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[열역학] 7. 통계역학 맛보기: 정준 앙상블 (Canonical Ensemble)열역학 2024. 7. 17. 14:32
지난 Microcanonical Ensemble 편에서 기본적인 통계역학의 개념과 공리, 이상기체 예제를 통해 통계역학이 미시세계와 거시세계를 이어준다는 것을 알아보았다. 이번에는 열적 평형을 이룬 닫힌계를 다루는 Canonical Ensemble에 대해서 알아보자. 지난 Microcanonical Ensemble 편에서 한가지 실수한 부분이 있다. \(n_x, n_y, n_z\)가 0이 아닌 정수이면(0이 포함 되지 않는 이유는 하이젠베르그의 불확정성 원리 때문이다.) 방정식을 만족하기 때문에 전체 구의 부피를 구하였는데, 자연수라고 적었다. 수정하였으니 참고 바란다. 정준 앙상블 (Canonical Ensemble)지난 Microcanonical Ensemble에서는 계의 에너지 분포, 입자수, 부..
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[열역학] 6. 통계역학 맛보기: 소정준 앙상블(Microcanonical Ensemble)열역학 2024. 7. 15. 20:34
열역학, 특히 엔트로피에 관해 깊게 이해하기 위해서는 미시세계와 거시세계를 이어주는 통계역학에 대해서 알 필요가 있다. 또한 고체역학등 많은 입자가 만들어내는 특성을 서술하는데도 통계역학이 사용된다. 그래서 통계역학에 대해 아주 깊게 다루지는 않지만, 맛보기로 통계역학에 있는 3개의 앙상블: microcanocial ensemble, canonical ensemble, grandcanonical ensemble을 3편으로 나누어서 소개하려고 한다.거시상태(macrostate)와 미시상태(microstate), 앙상블(ensemble)거시상태: 온도, 부피, 총에너지와 같은 계의 집합적인 특성으로 규정되는 상태미시상태: 개별적인 입자가 가진 물리량예를 들어 \(\varepsilon_i \)의 에너지를 가지..
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맥스웰-볼츠만 분포(Maxwell-Boltzmann Distribution)열역학 2024. 1. 20. 15:48
무수히 많은 입자들이 어떻게 거동할까? 입자 한개 한개의 움직임을 모두 계산하기에는 어려울 뿐만이 아니라 계산량이 매우 방대할 것이다. 이런경우 사용할 수 있는 모형 중에 하나가 확률 모형이다. 입자의 갯수가 적다면 주사위를 6번 던진다고 1~6이 모두 나오는 것이 아닌 것처럼, 확률에 기반한 설명은 잘 들어맞지 않겠지만, 기체의 운동처럼 입자가 아주 많은 경우라면 확률 모형은 현상을 잘 설명해준다. 이글은 이전에 고전역학적인 방법으로 맥스웰-볼츠만 분포를 유도해보았던 것을 정리하고자 작성하였다. 공업 수학에서 배우는 다변수 함수의 미적분과 고등학교 확률과 통계에서 배우는 내용이 익숙하다는 전제로 설명하겠다.Prerequestion1- 가우스 적분$$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x..