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[열역학] 8.통계역학 맛보기: 대정준 앙상블(Grand Canonical Ensemble) 대정준 앙상블 (Grand Canonical Ensemble)앞서 살펴본 canonical ensemble과 canonical ensemble은 각각 \(( N, V, E) \)가 일정한 고립계, \( (N, V, T )\)가 일정한 닫힌계에 대한 ensemble이 었다. 그런데 열려있거나 닫혀있어도 화학 반응 등으로 입자의 수가 변하는 경우도 생각해볼 수 있을 것이다. 계가 열적, 화학적 평형을 이루었다면 온도와 화학 포텐셜(chemical potential) \(\mu\)가 일정하게 유지되기에 \(V, T, \mu \)가 일정한 ensemble이 된다. (화학 포텐셜에 대해서는 여기를 참고하면 된다.) 그러므로 아래 그림과 같이 우리가 관심있는 계와 그 주변을 둘러싼 거대한 환경을 생각해보자.계와 주.. 공감수 0 댓글수 0 2024. 7. 17.
[열역학] 7. 통계역학 맛보기: 정준 앙상블 (Canonical Ensemble) 지난 Microcanonical Ensemble 편에서 기본적인 통계역학의 개념과 공리, 이상기체 예제를 통해 통계역학이 미시세계와 거시세계를 이어준다는 것을 알아보았다. 이번에는 열적 평형을 이룬 닫힌계를 다루는 Canonical Ensemble에 대해서 알아보자. 지난 Microcanonical Ensemble 편에서 한가지 실수한 부분이 있다. \(n_x, n_y, n_z\)가 0이 아닌 정수이면(0이 포함 되지 않는 이유는 하이젠베르그의 불확정성 원리 때문이다.) 방정식을 만족하기 때문에 전체 구의 부피를 구하였는데, 자연수라고 적었다. 수정하였으니 참고 바란다. 정준 앙상블 (Canonical Ensemble)지난 Microcanonical Ensemble에서는 계의 에너지 분포, 입자수, 부.. 공감수 1 댓글수 0 2024. 7. 17.
[열역학] 6. 통계역학 맛보기: 소정준 앙상블(Microcanonical Ensemble) 열역학, 특히 엔트로피에 관해 깊게 이해하기 위해서는 미시세계와 거시세계를 이어주는 통계역학에 대해서 알 필요가 있다. 또한 고체역학등 많은 입자가 만들어내는 특성을 서술하는데도 통계역학이 사용된다. 그래서 통계역학에 대해 아주 깊게 다루지는 않지만, 맛보기로 통계역학에 있는 3개의 앙상블: microcanocial ensemble, canonical ensemble, grandcanonical ensemble을 3편으로 나누어서 소개하려고 한다.거시상태(macrostate)와 미시상태(microstate), 앙상블(ensemble)거시상태: 온도, 부피, 총에너지와 같은 계의 집합적인 특성으로 규정되는 상태미시상태: 개별적인 입자가 가진 물리량예를 들어 \(\varepsilon_i \)의 에너지를 가지.. 공감수 2 댓글수 11 2024. 7. 15.
[열역학] 5. 반데르발스 방정식(Van der Waals Equation) 반데르발스 방정식은 이상기체 상태방정식을 실제 기체에 맞겠금 보정한 방정식이다. 그러면 이상 기체 방정식이 실제 기체와 얼마나 차이나는지, 그리고 이를 어떻게 보정했는지 지금부터 살펴보도록 하자 압축인자 (Compressibility Factor)$$ Z \equiv \dfrac{ \overline{V} }{ \overline{V}_{id} } = \dfrac{P \overline{V} }{RT} = \dfrac{P}{P_id} $$여기서 \( \overline{V}_{id} \)는 이상기체의 몰당 부피, \( \overline{V} \)는 실제기체의 몰당 부피이다. 압축인자를 이용하면 기체 방정식을 \(PV = nZRT \)로 쓸 수 있으며, 이상기체라면 압축인자값이 1이므로 압축인자를 측정하여 기체.. 공감수 1 댓글수 2 2024. 7. 14.
[열역학] 4. 화학 포텐셜(Chemical Potential)과 평형(Equilibrium), 르 샤틀리에 원리(Le Chatelier's Principle)의 열역학적 근거 몰당 양(Molar Quntities)관습은 아니지만, 여기선 기호위에 바(bar)를 표시하는 것으로 몰당 양임을 나타낼 것이다. 엔탈피를 예로 든다면 몰당 엔탈피와 엔탈피는 몰수를 \(n\)이라고 할 때 당연히 다음과 같은 관계가 있다.$$ H = n \overline{H} $$위의 수식을 잘 본다면 이를 미분으로도 표현가능하다는 것을 알 수 있다.$$ \overline{H} = \dfrac{\partial H}{\partial n} $$내부에너지, 엔탈피, 엔트로피, 자유에너지는 모두 크기 성질로써 계의 크기(입자수)가 바뀌면 이들의 값도 바뀌게 된다. 그러므로 앞의 열역학 기본 공식에 입자수에 관한 항을 추가할 수 있을 것이다.$$ \begin{align} dU &= TdS - P dV + \lef.. 공감수 0 댓글수 2 2024. 7. 13.
[열역학] 3. 자유 에너지와 맥스웰 관계식(Maxwell Relation) 이번에는 열역학 제 1법칙과 제 2법칙을 혼합하여 반응의 자발성을 알 수 있는 자유 에너지에 대해서 알아보자. Clausis's Inequaility$$ \delta Q \leq T dS $$ 지난 글에서 열역학 제 2법칙을 증명하는 과정에서 아래와 같은 부등식을 얻었다.$$ \int_{A}^{B} \dfrac{ \delta Q_{irr}}{T} \leq \int_A^B \dfrac{ \delta Q_{rev} }{T} $$이 식에서 구간을 작게 잡는다면(미분) 아래와 같이 쓸 수 있을 것이다.$$ \dfrac{ \delta Q_{irr}}{T} \leq \dfrac{ \delta Q_{rev} }{T} $$우변은 엔트로피의 정의이므로$$ \dfrac{ \delta Q_{irr}}{T} \leq dS $.. 공감수 0 댓글수 0 2024. 7. 13.
[열역학] 2. 카르노 기관(Carnot Engine)과 열역학 제 2 법칙 지난 글에서 수학적 배경 지식과 열역학만의 표기법, 기본 개념을 다루고 있으니 읽고 오는 것을 추천한다.https://sidreco.tistory.com/32 [열역학] 열역학의 공리와 기본 개념Mathmatical Background: Clairaut's Rule이계도함수가 존재하고, 연속인 함수 \(f(x, y\)에 대해 다음이 성립한다.$$ \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} $$함수가 불연속이라면sidreco.tistory.com 가역 과정과 비가역 과정 (Reversible and Irreversible Process)가역 과정은 주변과 평형을 유지하면서 진행되는 과정이며.. 공감수 0 댓글수 3 2024. 7. 11.
[열역학] 1.열역학 제 1 법칙과 내부 에너지(Internal Energy), 엔탈피(Enthalpy) 지난 글에서 열역학의 기본 개념과 열역학만의 표기법, 수학적 배경 지식에 대해 다루고 있으니 읽고 오는 것을 추천한다.https://sidreco.tistory.com/32 [열역학] 열역학의 공리와 기본 개념Mathmatical Background: Clairaut's Rule이계도함수가 존재하고, 연속인 함수 \(f(x, y\)에 대해 다음이 성립한다.$$ \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} $$함수가 불연속이라면sidreco.tistory.com 열역학 제 0 법칙두 물체가 열적 평형을 이루었다면, 두 물체의 온도는 같다.상식적이라고도 할 수 있는 내용이다.일 (Work)일의.. 공감수 1 댓글수 1 2024. 7. 10.
[열역학] 열역학의 공리와 기본 개념 Mathmatical Background: Clairaut's Rule이계도함수가 존재하고, 연속인 함수 \(f(x, y\)에 대해 다음이 성립한다.$$ \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} $$함수가 불연속이라면 위 식은 성립하지 않을 수 있지만, 열역학을 포함한 고전역학에서는 자연은 연속적이라고 가정하기 때문에 위와 같은 식이 성립한다.Mathmatical Background: Total Differential함수 \( f(x, y, z) \)를 전미분 (total differential)가능하다는 것은 아래와 같이 표현할 수 있음을 의미한다.$$ \Delta f = \dfrac.. 공감수 1 댓글수 2 2024. 7. 10.
맥스웰-볼츠만 분포(Maxwell-Boltzmann Distribution) 무수히 많은 입자들이 어떻게 거동할까? 입자 한개 한개의 움직임을 모두 계산하기에는 어려울 뿐만이 아니라 계산량이 매우 방대할 것이다. 이런경우 사용할 수 있는 모형 중에 하나가 확률 모형이다. 입자의 갯수가 적다면 주사위를 6번 던진다고 1~6이 모두 나오는 것이 아닌 것처럼, 확률에 기반한 설명은 잘 들어맞지 않겠지만, 기체의 운동처럼 입자가 아주 많은 경우라면 확률 모형은 현상을 잘 설명해준다. 이글은 이전에 고전역학적인 방법으로 맥스웰-볼츠만 분포를 유도해보았던 것을 정리하고자 작성하였다. 공업 수학에서 배우는 다변수 함수의 미적분과 고등학교 확률과 통계에서 배우는 내용이 익숙하다는 전제로 설명하겠다.Prerequestion1- 가우스 적분$$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x.. 공감수 0 댓글수 0 2024. 1. 20.

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